8.4 Propriétés du krigeage

Les principales propriétés et caractéristiques associées au krigeage sont :

i. Linéaire, sans biais, à variance minimale, par construction
Le krigeage est un estimateur linéaire, non biaisé, et qui minimise la variance d’estimation.

ii. Interpolateur exact
Si l’on estime un point connu, on retrouve exactement la valeur connue.

iii. Présente un effet d’écran
Les points les plus près reçoivent les poids les plus importants. Cet effet d’écran varie selon :

• La configuration spatiale des données
• Le modèle de variogramme utilisé

Plus l’effet de pépite est important, moins il y a d’effet d’écran.

iv. Tient compte de la taille du champ à estimer et de la position des points entre eux
Le krigeage considère la géométrie du champ et la disposition relative des données.

v. Tient compte de la continuité du phénomène étudié
Par l’utilisation du variogramme, le krigeage modélise la continuité spatiale du phénomène (effet de pépite, anisotropie, etc.).

vi. Effectue généralement un lissage
Les estimations sont moins variables que les teneurs réelles (point ou bloc) que l’on cherche à estimer.

vii. Presque sans biais conditionnel
Lorsqu’on applique une teneur de coupure à des valeurs estimées, on récupère approximativement la teneur prévue.

C’est une propriété très importante pour les mines.
Cette propriété implique que l’estimateur utilisé soit plus lisse que la valeur qu’il cherche à estimer, ce qui est le cas pour le krigeage.

viii. Transitif
Si l’on observe en un point une valeur coïncidant avec la valeur krigée pour ce point :

• Les valeurs krigées en d’autres points ne sont pas modifiées par l’inclusion de ce nouveau point
• Les variances de krigeage, elles, sont diminuées

De même, si l’on krige un certain nombre de points et que l’on utilise les valeurs krigées comme si c’étaient de nouvelles données, alors :

• Les krigeages subséquents ne s’en trouvent pas modifiés (sauf pour la variance de krigeage)

Propriétés générales¶

Linéarité, absence de biais et variance minimale¶

Le krigeage est, par construction, un estimateur :

• Linéaire
• Sans biais
• À variance d’estimation minimale
• Interpolateur exact : lorsqu’un point connu est estimé, le krigeage retourne exactement la valeur observée.

Effet d’écran¶

Les points les plus proches du point à estimer reçoivent les poids les plus élevés. Cet effet dépend :

• De la configuration spatiale des données
• Du modèle de variogramme utilisé

Plus l’effet de pépite est important, plus l’effet d’écran diminue.

Prise en compte de la géométrie du champ¶

Le krigeage tient compte :

• De la taille du champ à estimer
• De la position relative des points

Continuité spatiale¶

Grâce au variogramme, le krigeage modélise la continuité du phénomène étudié (effet de pépite, anisotropie, etc.).

Effet de lissage¶

Les estimations sont généralement moins variables que les valeurs réelles. Cela signifie que le krigeage “lisse” les données.

Quasi-absence de biais conditionnel¶

Lorsqu’une teneur de coupure est appliquée aux valeurs estimées, la teneur globale reste proche de la réalité. Cela est crucial en contexte minier.

Transitivité¶

Si une valeur observée coïncide avec la valeur krigée, l’ajout de ce point :

• N’affecte pas les autres estimations
• Réduit la variance d’estimation

Illustrations et effets spécifiques¶

Interpolation exacte¶

• Aux points d’échantillonnage, le krigeage retourne la valeur mesurée.
• Pour éviter des discontinuités sur les cartes, il est recommandé de ne pas kriger un point exactement à l’emplacement d’un échantillon.

Effet d’écran¶

• Cas extrême : modèle linéaire en 1D
• Diminue avec l’augmentation de l’effet de pépite
• Permet de limiter le krigeage à un voisinage local (voisinages glissants)

Influence de la taille du champ¶

Lorsque la taille du champ augmente :

• Les poids tendent à s’égaliser
• La variance d’estimation diminue, puis augmente si l’on extrapole au-delà du domaine couvert par les données

Position relative des points¶

Contrairement à l’interpolation par inverse de la distance, le krigeage tient compte de la configuration spatiale. Chaque point est pondéré selon sa zone d’influence.

Effet de pépite et portée¶

• Plus l’effet de pépite est élevé, plus la variance d’estimation augmente
• Plus la portée est grande, plus la variance d’estimation diminue

Anisotropie¶

• Il est essentiel d’adapter la densité d’échantillonnage selon la direction de plus faible portée
• Une stratégie d’échantillonnage alignée avec l’anisotropie améliore la précision des estimations

Choix du modèle de variogramme¶

• Le choix du modèle a peu d’impact si les ajustements sont similaires à courte distance
• Les points proches du point à estimer ont le plus d’influence

Effet de lissage¶

Krigeage simple¶

Krigeage ordinaire¶

Exemple :
Bloc de 10×10, estimé par ses 4 coins, variogramme sphérique (palier = 1, portée = 20)

• $$\text{Var}(Z_v) = 0.6278$$

  (3)
• $$\sigma_{ko}^2 = 0.1311$$

  (4)
• $$\text{Var}(Z_v^*) = 0.4353$$

  (5)
• $$\mu = 0.0307$$

  (6)

Vérification :

Biais conditionnel¶

Krigeage simple¶

Pas de biais conditionnel :

Krigeage ordinaire¶

Légèrement biaisé :

avec :

• Le multiplicateur de Lagrange est souvent légèrement négatif
• Cela implique une pente de régression < 1 :
    - Surestimation des fortes teneurs
    - Sous-estimation des faibles teneurs

Estimation polygonale¶

• Présente un biais conditionnel plus marqué
• Plus le point utilisé est éloigné du bloc, plus le biais est important

Lien entre lissage et biais conditionnel¶

Si

, alors

→ Un estimateur plus variable que la réalité présente nécessairement un biais conditionnel.