8.3 Pratique du krigeage

Grille de krigeage¶

Souvent, le krigeage est réalisé sur une grille régulière de points ou de blocs.

• Dans le cas de points, l’objectif est habituellement de fournir une carte de la variable étudiée. La grille de krigeage doit être assez dense pour que la carte reflète réellement les résultats du krigeage et non les effets du logiciel de cartographie.

• Dans le cas de blocs, ceux-ci correspondent généralement à des unités de sélection minière (SMU), et leur taille est dictée par les opérations minières. L’objectif peut être d’appliquer une teneur de coupure à ces blocs pour estimer les ressources du gisement.
  ⚠️ Le nombre de blocs ne devrait pas dépasser 10 fois le nombre d’observations dans la zone d’intérêt. Au-delà, les estimations varient peu, mais le temps de calcul augmente inutilement.

Voisinage utilisé pour le krigeage¶

1. Généralement un voisinage glissant.

2. Nombre de points suffisant (> 10, jusqu’à 50–100).

3. Zone de recherche assez grande pour assurer ce minimum.

4. Si anisotropie : adopter une zone elliptique selon la direction de continuité. Sinon, une zone circulaire plus large suffit.

5. Utilisation des quadrants : assure une répartition uniforme (ex. : au moins 2 points par quadrant).

Exemple : Recherche circulaire avec 2 points max/quadrant. Des points peuvent être rejetés s’ils sont trop éloignés ou s’ils sont en surnombre dans un quadrant donné.

5.7 Validation croisée¶

La validation croisée est une méthode puissante pour vérifier la qualité du modèle de variogramme et du voisinage utilisé.

Principe¶

On élimine chaque observation à tour de rôle et on l’estime à partir de ses voisins. On obtient alors pour chaque point :

• Une valeur vraie
  $$Z_i$$

  (1)
• Une valeur estimée
  $$Z_i^*$$

  (2)
• Une variance de krigeage
  $$\sigma_i^2$$

  (3)

Indicateurs¶

On peut alors définir :

• Le résidu brut :
  $$e_i = Z_i - Z_i^*$$

  (4)
• Le résidu normalisé :
  $$n_i = \frac{Z_i - Z_i^*}{\sigma_i}$$

  (5)

Un bon modèle devrait vérifier :

1. Can't use function '$' in math mode at position 20: … e_i \approx 0 $̲$ et $$ \sum n_…
   
   \sum e_i \approx 0 $$ et $$ \sum n_i \approx 0

2. $$\sum |e_i|$$

   (7)

   ou

   $$\sum e_i^2$$

   (8)

   minimum

3. $$\frac{1}{n} \sum n_i^2 \approx 1$$

   (9)

4. Analyse des histogrammes et distributions spatiales des

   $$e_i$$

   (10)

   et

   $$n_i$$

   (11)

   pour détecter des biais ou hétérogénéités spatiales.

Recommandations¶

• Reproduire le contexte réel d’estimation : par exemple, si les données proviennent de forages, éviter d’utiliser les mêmes forages comme voisins.

• Éviter d’utiliser des points périphériques (extrapolation) : leur variance de krigeage est souvent plus élevée.

• Compléter la validation avec le variogramme expérimental.

• Pour comparer 2 modèles : privilégier les erreurs brutes plutôt que les résidus normalisés.

Ajustement du modèle¶

En ajustant la constante de variogramme, les estimations ne changent pas, mais la variance de krigeage est multipliée par cette constante.

Si la statistique

est trop élevée, le modèle est trop optimiste : il faut alors un variogramme avec moins de structure (plus grande variance de krigeage).

Illustration (résumé des figures)¶

Quatre figures illustrent des cas de validation croisée pour 1600 points (40 x 40), avec :

• En haut : la moyenne des erreurs au carré

  $$\overline{e^2}$$

  (13)

  et la moyenne des variances de krigeage.

• En bas :

  $$\frac{1}{n} \sum n_i^2$$

  (14)

Cas testés :

• ✅ Figure 1 (bon modèle) : Le modèle sphérique utilisé correspond à la réalité → bonne correspondance des erreurs et variances.

• ⚠️ Figure 2 (modèle trop pessimiste) : Effet de pépite pur utilisé à la place du modèle réel → variance surévaluée.

• ⚠️ Figure 3 (modèle trop optimiste) : Portée

  $$a = 20$$

  (15)

  utilisée alors que le vrai modèle a

  $$a = 10$$

  (16)

  → sous-estimation des erreurs.

• ❌ Figure 4 (modèle inadapté) : Modèle sphérique fourni alors que la réalité est un effet de pépite pur → variance des erreurs normalisées largement > 1.

Autres outils de validation¶

1. La variance expérimentale des valeurs estimées devrait correspondre à la dispersion des blocs.

2. La relation de lissage (section 5.3) permet aussi une validation : en variant la taille de bloc, on peut comparer :

- Variance expérimentale

- Moyennes des multiplicateurs de Lagrange

- Variances de krigeage

On devrait observer une cohérence entre ces mesures et la dispersion réelle du gisement.