8.2 Exemple numérique de krigeage - Note de cours et ateliers interactifs

Considérons les points suivants dans le plan :

$x_1 = (0, 1), \quad Z_1 = 9$
$x_2 = (0, 0), \quad Z_2 = 3$
$x_3 = (3, 0), \quad Z_3 = 4$

On souhaite estimer la valeur au point $x_0 = (1, 0)$ par krigeage ordinaire.
On suppose un variogramme sphérique avec effet de pépite = 1, palier = 11 et portée = 3.

Étape 1 : Distances entre les points¶

	$x_0$	$x_1$	$x_2$	$x_3$
$x_0$	0.0	1.4	1.0	2.0
$x_1$	1.4	0.0	1.0	3.2
$x_2$	1.0	1.0	0.0	3.0
$x_3$	2.0	3.2	3.0	0.0

Étape 2 : Variogramme sphérique¶

\gamma(h) = \begin{cases} 0 & \text{si } h = 0 \\ 1 + 10 \left[1.5 \frac{h}{3} - 0.5 \left(\frac{h}{3}\right)^3 \right] & \text{si } 0 < h \leq 3 \\ 11 & \text{si } h > 3 \end{cases}

(1)

	$x_0$	$x_1$	$x_2$	$x_3$
$x_0$	0.00	7.55	5.81	9.52
$x_1$	7.55	0.00	5.81	11.0
$x_2$	5.81	5.81	0.00	11.0
$x_3$	9.52	11.0	11.0	0.00

Étape 3 : Matrice de covariances¶

C(h) = 11 - \gamma(h)

(2)

	$x_0$	$x_1$	$x_2$	$x_3$
$x_0$	11.00	3.45	5.19	1.48
$x_1$	3.45	11.00	5.19	0.00
$x_2$	5.19	5.19	11.00	0.00
$x_3$	1.48	0.00	0.00	11.00

Étape 4 : Système de krigeage¶

\begin{bmatrix} 11 & 5.19 & 5.19 & 1 \\ 5.19 & 11 & 0 & 1 \\ 5.19 & 0 & 11 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ \mu \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.45 \\ 5.19 \\ 1.48 \\ 1 \end{bmatrix}

(3)

Étape 5 : Solution¶

\lambda_1 = 0.21, \quad \lambda_2 = 0.51, \quad \lambda_3 = 0.28, \quad \mu = -1.5

(4)

Étape 6 : Estimation¶

Z^*(x_0) = 0.21 \times 9 + 0.51 \times 3 + 0.28 \times 4 = 4.54

(5)

Étape 7 : Variance de krigeage¶

\sigma^2_{KO} = k - \lambda^\top \cdot k_0 = 11 - 3.32 = 7.68

(6)

où $k = 11$ , et $\lambda^\top \cdot k_0 = 3.32$ .

Note de cours et ateliers interactifs

8.1 Krigeage Ordinaire et Simple

Note de cours et ateliers interactifs

8.3 Pratique du krigeage