8.2 Exemple numérique de krigeage
Considérons les points suivants dans le plan :
x 1 = ( 0 , 1 ) , Z 1 = 9 x_1 = (0, 1), \quad Z_1 = 9 x 1 = ( 0 , 1 ) , Z 1 = 9
x 2 = ( 0 , 0 ) , Z 2 = 3 x_2 = (0, 0), \quad Z_2 = 3 x 2 = ( 0 , 0 ) , Z 2 = 3
x 3 = ( 3 , 0 ) , Z 3 = 4 x_3 = (3, 0), \quad Z_3 = 4 x 3 = ( 3 , 0 ) , Z 3 = 4
On souhaite estimer la valeur au point x 0 = ( 1 , 0 ) x_0 = (1, 0) x 0 = ( 1 , 0 )
Étape 1 : Distances entre les points ¶ Cette étape consiste à calculer les distances entre tous les points connus, ce qui servira pour le calcul du variogramme et des covariances.
x 0 x_0 x 0 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 x 0 x_0 x 0 0.0 1.4 1.0 2.0 x 1 x_1 x 1 1.4 0.0 1.0 3.2 x 2 x_2 x 2 1.0 1.0 0.0 3.0 x 3 x_3 x 3 2.0 3.2 3.0 0.0
Étape 2 : Variogramme sphérique ¶ On applique le modèle de variogramme sphérique aux distances calculées pour obtenir la structure de dépendance spatiale entre les points.
γ ( h ) = { 0 si h = 0 1 + 10 [ 1.5 h 3 − 0.5 ( h 3 ) 3 ] si 0 < h ≤ 3 11 si h > 3 \gamma(h) =
\begin{cases}
0 & \text{si } h = 0 \\
1 + 10 \left[1.5 \frac{h}{3} - 0.5 \left(\frac{h}{3}\right)^3 \right] & \text{si } 0 < h \leq 3 \\
11 & \text{si } h > 3
\end{cases} γ ( h ) = ⎩ ⎨ ⎧ 0 1 + 10 [ 1.5 3 h − 0.5 ( 3 h ) 3 ] 11 si h = 0 si 0 < h ≤ 3 si h > 3 x 0 x_0 x 0 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 x 0 x_0 x 0 0.00 7.55 5.81 9.52 x 1 x_1 x 1 7.55 0.00 5.81 11.0 x 2 x_2 x 2 5.81 5.81 0.00 11.0 x 3 x_3 x 3 9.52 11.0 11.0 0.00
Étape 3 : Matrice de covariances ¶ Cette étape convertit le variogramme en covariances, qui sont nécessaires pour résoudre le système de krigeage.
C ( h ) = 11 − γ ( h ) C(h) = 11 - \gamma(h) C ( h ) = 11 − γ ( h ) x 0 x_0 x 0 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 x 0 x_0 x 0 11.00 3.45 5.19 1.48 x 1 x_1 x 1 3.45 11.00 5.19 0.00 x 2 x_2 x 2 5.19 5.19 11.00 0.00 x 3 x_3 x 3 1.48 0.00 0.00 11.00
Étape 4 : Système de krigeage ¶ On construit le système linéaire de krigeage ordinaire pour déterminer les poids (λ i \lambda_i λ i μ \mu μ
[ 11 5.19 5.19 1 5.19 11 0 1 5.19 0 11 1 1 1 1 0 ] [ λ 1 λ 2 λ 3 μ ] = [ 3.45 5.19 1.48 1 ] \begin{bmatrix}
11 & 5.19 & 5.19 & 1 \\
5.19 & 11 & 0 & 1 \\
5.19 & 0 & 11 & 1 \\
1 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\lambda_1 \\
\lambda_2 \\
\lambda_3 \\
\mu
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3.45 \\
5.19 \\
1.48 \\
1
\end{bmatrix} ⎣ ⎡ 11 5.19 5.19 1 5.19 11 0 1 5.19 0 11 1 1 1 1 0 ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ λ 1 λ 2 λ 3 μ ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ 3.45 5.19 1.48 1 ⎦ ⎤ Étape 5 : Solution ¶ On résout le système pour obtenir les poids optimaux attribués à chaque point connu.
λ 1 = 0.21 , λ 2 = 0.51 , λ 3 = 0.28 , μ = − 1.5 \lambda_1 = 0.21, \quad \lambda_2 = 0.51, \quad \lambda_3 = 0.28, \quad \mu = -1.5 λ 1 = 0.21 , λ 2 = 0.51 , λ 3 = 0.28 , μ = − 1.5 Étape 6 : Estimation ¶ On calcule l’estimation krigée au point cible x 0 x_0 x 0
Z ∗ ( x 0 ) = 0.21 × 9 + 0.51 × 3 + 0.28 × 4 = 4.54 Z^*(x_0) = 0.21 \times 9 + 0.51 \times 3 + 0.28 \times 4 = 4.54 Z ∗ ( x 0 ) = 0.21 × 9 + 0.51 × 3 + 0.28 × 4 = 4.54 Étape 7 : Variance de krigeage ¶ Cette étape fournit l’incertitude associée à l’estimation, appelée variance de krigeage, qui mesure la précision de la prédiction.
σ K O 2 = k − λ ⊤ ⋅ k 0 = 11 − 3.32 = 7.68 \sigma^2_{KO} = k - \lambda^\top \cdot k_0 = 11 - 3.32 = 7.68 σ K O 2 = k − λ ⊤ ⋅ k 0 = 11 − 3.32 = 7.68 où k = 11 k = 11 k = 11 λ ⊤ ⋅ k 0 = 3.32 \lambda^\top \cdot k_0 = 3.32 λ ⊤ ⋅ k 0 = 3.32