8.1 Krigeage Ordinaire et Simple
Krigeage Ordinaire ¶ Supposons que l’on veuille estimer un bloc v v v x 0 \mathbf{x}_0 x 0 Z v Z_v Z v Z v ∗ Z_v^* Z v ∗
L’estimateur est linéaire, i.e. :
Z v ∗ = ∑ i = 1 n λ i Z ( x i ) Z_v^* = \sum_{i=1}^n \lambda_i Z(\mathbf{x}_i) Z v ∗ = i = 1 ∑ n λ i Z ( x i ) où les Z i Z_i Z i
On veut minimiser :
σ K 2 = V a r ( Z v − Z v ∗ ) \sigma_K^2 = \mathrm{Var}(Z_v - Z_v^*) σ K 2 = Var ( Z v − Z v ∗ ) En substituant l’expression de l’estimateur :
σ K 2 = V a r ( Z v − ∑ i = 1 n λ i Z ( x i ) ) \sigma_K^2 = \mathrm{Var} \left( Z_v - \sum_{i=1}^n \lambda_i Z(\mathbf{x}_i) \right) σ K 2 = Var ( Z v − i = 1 ∑ n λ i Z ( x i ) ) Pour que l’estimateur soit sans biais, il faut que :
∑ i = 1 n λ i = 1 \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 i = 1 ∑ n λ i = 1 En effet :
E [ Z v ∗ ] = ∑ i = 1 n λ i E [ Z ( x i ) ] = E [ Z v ] \mathbb{E}[Z_v^*] = \sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbb{E}[Z(\mathbf{x}_i)] = \mathbb{E}[Z_v] E [ Z v ∗ ] = i = 1 ∑ n λ i E [ Z ( x i )] = E [ Z v ] On a un problème de minimisation d’une fonction quadratique sous contrainte d’égalité, que l’on résout par la méthode de Lagrange :
L ( λ 1 , … , λ n , μ ) = V a r ( Z v − ∑ i = 1 n λ i Z ( x i ) ) + μ ( ∑ i = 1 n λ i − 1 ) \mathcal{L}(\lambda_1, \dots, \lambda_n, \mu) = \mathrm{Var}\left(Z_v - \sum_{i=1}^n \lambda_i Z(\mathbf{x}_i)\right) + \mu \left( \sum_{i=1}^n \lambda_i - 1 \right) L ( λ 1 , … , λ n , μ ) = Var ( Z v − i = 1 ∑ n λ i Z ( x i ) ) + μ ( i = 1 ∑ n λ i − 1 ) où μ \mu μ
Cela mène au système de krigeage ordinaire :
{ ∑ j = 1 n λ j C ( x i − x j ) + μ = C ( x i − x 0 ) , i = 1 , … , n ∑ j = 1 n λ j = 1 \begin{cases}
\sum_{j=1}^n \lambda_j C(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j) + \mu = C(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_0), & i = 1, \dots, n \\
\sum_{j=1}^n \lambda_j = 1
\end{cases} { ∑ j = 1 n λ j C ( x i − x j ) + μ = C ( x i − x 0 ) , ∑ j = 1 n λ j = 1 i = 1 , … , n La variance d’estimation minimale , appelée variance de krigeage , est donnée par :
σ K 2 = ∑ i = 1 n λ i C ( x i − x 0 ) + μ \sigma_K^2 = \sum_{i=1}^n \lambda_i C(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_0) + \mu σ K 2 = i = 1 ∑ n λ i C ( x i − x 0 ) + μ Cette variance ne dépend pas des valeurs observées , mais uniquement du variogramme et de la configuration spatiale .
Système en termes de variogramme ¶ On utilise la relation :
C ( h ) = σ 2 − γ ( h ) C(h) = \sigma^2 - \gamma(h) C ( h ) = σ 2 − γ ( h ) et le fait que ∑ λ i = 1 \sum \lambda_i = 1 ∑ λ i = 1
∑ j = 1 n λ j γ ( x i − x j ) − μ = γ ( x i − x 0 ) , i = 1 , … , n \sum_{j=1}^n \lambda_j \gamma(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j) - \mu = \gamma(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_0), \quad i = 1, \dots, n j = 1 ∑ n λ j γ ( x i − x j ) − μ = γ ( x i − x 0 ) , i = 1 , … , n Krigeage Simple ¶ Quand la moyenne m m m
Z v ∗ = m + ∑ i = 1 n λ i ( Z ( x i ) − m ) Z_v^* = m + \sum_{i=1}^n \lambda_i (Z(\mathbf{x}_i) - m) Z v ∗ = m + i = 1 ∑ n λ i ( Z ( x i ) − m ) La variance d’estimation devient :
σ K 2 = V a r ( Z v − m − ∑ i = 1 n λ i ( Z ( x i ) − m ) ) \sigma_K^2 = \mathrm{Var} \left( Z_v - m - \sum_{i=1}^n \lambda_i (Z(\mathbf{x}_i) - m) \right) σ K 2 = Var ( Z v − m − i = 1 ∑ n λ i ( Z ( x i ) − m ) ) On obtient le système de krigeage simple :
∑ j = 1 n λ j C ( x i − x j ) = C ( x i − x 0 ) , i = 1 , … , n \sum_{j=1}^n \lambda_j C(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j) = C(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_0), \quad i = 1, \dots, n j = 1 ∑ n λ j C ( x i − x j ) = C ( x i − x 0 ) , i = 1 , … , n Et la variance de krigeage simple :
σ K 2 = σ 2 − ∑ i = 1 n λ i C ( x i − x 0 ) \sigma_K^2 = \sigma^2 - \sum_{i=1}^n \lambda_i C(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_0) σ K 2 = σ 2 − i = 1 ∑ n λ i C ( x i − x 0 ) Remarques ¶ La variance du krigeage simple est toujours inférieure à celle du krigeage ordinaire, mais nécessite la connaissance de m m m . Le krigeage simple suppose la stationnarité du second ordre , plus forte que l’intrinsécité du krigeage ordinaire. Il est impossible d’écrire le système simple en termes de variogramme directement (pas de contrainte sur ∑ λ i \sum \lambda_i ∑ λ i À courte distance, les deux méthodes donnent des résultats très similaires . Avec un effet de pépite ou à grande distance, le krigeage ordinaire retourne la moyenne locale , le krigeage simple retourne m m m Le krigeage ordinaire est généralement préféré , sauf pour des cas particuliers (indicatrices, simulations).C λ = c 0 \mathbf{C} \boldsymbol{\lambda} = \mathbf{c}_0 C λ = c 0 où :
C \mathbf{C} C C ( x i − x j ) C(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j) C ( x i − x j ) λ \boldsymbol{\lambda} λ c 0 \mathbf{c}_0 c 0 C ( x i − x 0 ) C(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_0) C ( x i − x 0 ) L’estimation s’écrit :
Z v ∗ = m + λ ⊤ ( Z − m 1 ) Z_v^* = m + \boldsymbol{\lambda}^\top ( \mathbf{Z} - m \mathbf{1} ) Z v ∗ = m + λ ⊤ ( Z − m 1 ) et la variance :
σ K 2 = σ 2 − λ ⊤ c 0 \sigma_K^2 = \sigma^2 - \boldsymbol{\lambda}^\top \mathbf{c}_0 σ K 2 = σ 2 − λ ⊤ c 0