8.1 Krigeage Ordinaire et Simple

Krigeage Ordinaire¶

Supposons que l’on veuille estimer un bloc $v$ centré au point $\mathbf{x}_0$. Notons $Z_v$ la vraie valeur (inconnue) de ce bloc et $Z_v^*$ l’estimateur que l’on obtient.

L’estimateur est linéaire, i.e. :

où les $Z_i$ désignent les variables aléatoires correspondant aux points échantillons.

On veut minimiser :

En substituant l’expression de l’estimateur :

Pour que l’estimateur soit sans biais, il faut que :

En effet :

On a un problème de minimisation d’une fonction quadratique sous contrainte d’égalité, que l’on résout par la méthode de Lagrange :

où $\mu$ est le multiplicateur de Lagrange.

Cela mène au système de krigeage ordinaire :

La variance d’estimation minimale, appelée variance de krigeage, est donnée par :

Cette variance ne dépend pas des valeurs observées, mais uniquement du variogramme et de la configuration spatiale.

Système en termes de variogramme¶

On utilise la relation :

et le fait que $\sum \lambda_i = 1$, d’où :

Forme matricielle¶

Krigeage Simple¶

Quand la moyenne $m$ du champ est connue ou bien estimée, on utilise :

La variance d’estimation devient :

On obtient le système de krigeage simple :

Et la variance de krigeage simple :

Remarques¶

• La variance du krigeage simple est toujours inférieure à celle du krigeage ordinaire, mais nécessite la connaissance de $m$.

• Le krigeage simple suppose la stationnarité du second ordre, plus forte que l’intrinsécité du krigeage ordinaire.

• Il est impossible d’écrire le système simple en termes de variogramme directement (pas de contrainte sur $\sum \lambda_i$).

• À courte distance, les deux méthodes donnent des résultats très similaires. Avec un effet de pépite ou à grande distance, le krigeage ordinaire retourne la moyenne locale, le krigeage simple retourne $m$.

• Le krigeage ordinaire est généralement préféré, sauf pour des cas particuliers (indicatrices, simulations).

Forme matricielle du krigeage simple¶