Dans la plupart des cas, les décisions doivent être prises sur des supports différents de ceux des données observées. Or, la fonction ( F_{KI} ) estimée précédemment est valide uniquement pour le support ponctuel des observations.
Par exemple, dans une mine, la probabilité qu’un bloc de 125 m³ excède une teneur de coupure donnée n’est pas la même que pour une carotte de 1 m. Comme la variance diffère selon le support, les fonctions de distribution associées sont nécessairement différentes. Il est donc indispensable de corriger la fonction ( F_{KI} ) pour tenir compte du changement de support.
Note :
On pourrait penser qu’il suffit de remplacer le krigeage ponctuel du KI par un krigeage de blocs. Cependant, ( I^*(x_0, c) ) représente l’estimation de la probabilité moyenne que les points du bloc soient inférieurs à ( c ), et non la probabilité que la valeur moyenne du bloc soit inférieure à ( c ).Cette distinction est importante car la probabilité n’est pas un opérateur linéaire par rapport à la moyenne, tout comme le logarithme n’est pas linéaire par rapport à la moyenne (i.e., (\log(\text{moyenne}) \neq \text{moyenne des } \log)).
Correction affine¶
La correction affine, la plus utilisée avec le KI, repose sur l’hypothèse que la distribution des blocs est identique à celle des points, à une contraction près donnée par le rapport des écarts-types (ou variances) de dispersion des blocs et des points.
Formellement, la correction affine s’écrit :
[ F_{Z_v}(z) = F_Z \left( m + \sqrt{\frac{D^2(v|G)}{D^2(\cdot|G)}} (z - m) \right) ]
où :
- ( m ) est la moyenne locale (i.e., l’espérance obtenue de la fonction de distribution estimée par KI au point ponctuel),
- ( D^2(v|G) ) est la variance (dispersion) au support du bloc,
- ( D^2(\cdot|G) ) est la variance au support ponctuel.
Exemple¶
Pour l’exemple précédent, on a :
- une espérance conditionnelle ( m = 6.33 ),
- et un rapport de variances ( \frac{D^2(v|G)}{D^2(\cdot|G)} = 0.8 ).
On cherche la probabilité que le bloc excède la valeur 9.
Le seuil ponctuel équivalent devient :
[ c’ = \frac{1}{\sqrt{0.8}} (9 - 6.33) + 6.33 \approx 9.31 ]
En se référant au tableau précédent, la probabilité d’excéder ce seuil au point est :
[ P(Z_v > 9) = 1 - \left(0.78 + 0.31 \times (1 - 0.78) \right) = 0.15 ]
Tandis que la probabilité ponctuelle d’excéder le seuil 9 est plus élevée :
[ P(Z > 9) = 1 - 0.78 = 0.22 ]
Limitations et remarques¶
- La correction affine ne peut pas être utilisée pour des changements de support trop importants, typiquement lorsque
[ \frac{D^2(v|G)}{D^2(\cdot|G)} \leq 0.7 ]
Dans ce cas, la forme de l’histogramme varie trop et la méthode n’est plus pertinente.
Pour des blocs très grands par rapport à la structure, on s’attend à une diminution progressive du nombre de modes et à un histogramme tendant vers une loi normale.
Il faut alors recourir à des méthodes plus sophistiquées de correction pour changement de support.
Une autre approche consiste à utiliser des simulations ponctuelles conditionnelles reproduisant le variogramme et respectant les observations. En regroupant ces simulations en blocs, on peut estimer la fonction de distribution locale des blocs. De nombreuses techniques de simulation existent pour cela.
Cette correction affine permet donc une adaptation simple et souvent efficace du KI aux problèmes pratiques où les supports d’estimation et d’observation diffèrent.