Comme mentionné précédemment, rien ne garantit que le résultat du krigeage d’indicatrices sera une fonction respectant les propriétés d’une fonction de distribution :
- ( 0 \leq F(z) \leq 1 )
- ( F(z) \leq F(z’) ) si ( z \leq z’ )
Il faut donc, avant tout calcul, s’assurer que la fonction estimée ( F_{KI}(x_0, z) ) respecte ces propriétés, sans quoi des résultats aberrants, comme des probabilités négatives, pourraient apparaître. Pour cela, on effectue des corrections dites “ad hoc”. Voici une méthode simple :
Correction « ad hoc » de la fonction de distribution estimée¶
Troncature des bornes :
Mettre les valeurs négatives de ( F_{KI}(x, c) ) égales à 0, et celles supérieures à 1 égales à 1.Correction vers l’avant :
Soient les seuils ordonnés ( c_1 < c_2 < \cdots < c_p ).
On définit la fonction corrigée vers l’avant par :
[ F_{KI,\text{avant}}(x_0, c_1) = \max(0, F_{KI}(x_0, c_1)) ] Pour ( i = 2, \ldots, p ) :
[ F_{KI,\text{avant}}(x_0, c_i) = \max\big(F_{KI,\text{avant}}(x_0, c_{i-1}), F_{KI}(x_0, c_i)\big) ]Correction vers l’arrière :
On définit la fonction corrigée vers l’arrière par :
[ F_{KI,\text{arr}}(x_0, c_p) = \min(1, F_{KI}(x_0, c_p)) ] Pour ( i = p-1, \ldots, 1 ) :
[ F_{KI,\text{arr}}(x_0, c_i) = \min\big(F_{KI}(x_0, c_i), F_{KI,\text{arr}}(x_0, c_{i+1})\big) ]Fonction corrigée finale :
La fonction corrigée est obtenue en faisant la moyenne des deux corrections :
[ F_{KI,\text{corr}}(x_0, c_i) = \frac{1}{2} \big( F_{KI,\text{avant}}(x_0, c_i) + F_{KI,\text{arr}}(x_0, c_i) \big) ]
Exemple de correction¶
Le tableau suivant illustre la correction appliquée à une fonction ( F_{KI} ) présentant des anomalies :
| Seuil ( c ) | ( F_{KI}(x_0,c) ) | ( F_{KI,\text{avant}}(x_0,c) ) | ( F_{KI,\text{arr}}(x_0,c) ) | ( F_{KI,\text{corr}}(x_0,c) ) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | -0.01 → 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0.13 | 0.13 | 0.13 | 0.13 |
| 3 | 0.24 | 0.24 | 0.234 | 0.237 |
| 4 | 0.238 | 0.24 | 0.234 | 0.237 |
| 5 | 0.234 | 0.24 | 0.234 | 0.237 |
| 6 | 0.237 | 0.24 | 0.237 | 0.2385 |
| 7 | 0.53 | 0.53 | 0.53 | 0.53 |
| 8 | 0.79 | 0.79 | 0.77 | 0.78 |
| 9 | 0.77 | 0.79 | 0.77 | 0.78 |
| 10 | 1.02 → 1.0 | 1.0 | 1.0 | 1.0 |
Remarque complémentaire¶
Dans un cadre plus large, on calcule les poids de krigeage (\lambda_i) en résolvant le système classique (ici en notation indicatrice) :
[ I^*(x, c) = \sum_{i=1}^n \lambda_i I(x_i, c) + \left(1 - \sum_{i=1}^n \lambda_i \right) F_Z(c), ]
avec la contrainte sur les covariances :
[ \sum_{i=1}^n \lambda_i , \mathrm{Cov}\big(I(x_i,c), I(x_j,c)\big) = \mathrm{Cov}\big(I(x_0,c), I(x_j,c)\big) \quad \forall j, ]
où ( F_Z(c) ) est la fonction de distribution cumulative globale évaluée au seuil ( c ).
Ce processus est répété pour chaque seuil ( c ). Si le variogramme est un simple effet de pépite, les poids sont nuls et la fonction locale estimée est égale à la fonction globale.