Calcul de la densité des roches - Note de cours et ateliers interactifs

On peut mesurer ou calculer la densité des roches de diverses façons et sur des supports très différents. On présente ici plusieurs méthodes :

i. Densité de carottes de forage¶

Ici, il s’agit d’utiliser le principe d’Archimède pour calculer la densité sèche totale d’un échantillon. On pèse l’échantillon sèche pour obtenir la masse sèche ( $M_s$ ) et on pèse l’échantillon submergée dans l’eau pour obtenie la masse de l’échantillon dans l’eau ( $M_e$ ). On obtient la densité sèche totale par :

d = \frac{M_s}{M_s - M_e}

(1)

ii. Densité théorique¶

Calculée à partir des constituants du minerai (ex. % silice, % sulfures, etc.). Les variations de densité sont surtout liées à la concentration en sulfures, que l’on peut déterminer par analyse chimique.

Si $d_i$ est la densité du minéral $i$ et $t_i$ sa teneur (fraction), la densité moyenne est donnée par :

d_{\text{moy}} = \frac{1}{\frac{t_1}{d_1} + \frac{t_2}{d_2} + \cdots + \frac{t_n}{d_n}}

(2)

Exemple de calcul¶

Un gisement Cu-Zn contient de la sphalérite (ZnS), de la chalcopyrite (CuFeS₂) et de la pyrite (FeS₂). On connaît les densités :

Chalcopyrite : 4.2 g/cm³
Sphalérite : 4.1 g/cm³
Pyrite : 5.0 g/cm³
Gangue : 2.68 g/cm³

Résultats de l’analyse chimique :

3 % Cu
5 % Zn
20 % Fe

Étape 1 : Répartition massique des éléments¶

Minéral	Composition chimique approximative
Chalcopyrite	35 % Cu, 30 % Fe, 35 % S
Sphalérite	67 % Zn, 33 % S
Pyrite	47 % Fe, 53 % S

Ces proportions sont obtenues à partir des poids atomiques.

Étape 2 : Calcul des % massiques des minéraux¶

À cette étape, on peut calculer la présence de chacun des éléments à partir de l’observation de leur occurrence. Ainsi, la sphalérite est le seul minéral contenant du zinc. On peut donc déduire rapidement la quantité de sphalérite dans notre échantillon :

Sphalérite : ( 5 \div 0,67 = 7,46% ) de sphalérite.

De même, le cuivre est contenu uniquement dans la chalcopyrite. On peut donc calculer le pourcentage de chalcopyrite dans l’échantillon. En connaissant la quantité de chalcopyrite, on peut également en déduire la quantité de fer liée à ce minéral :

Chalcopyrite : ( 3 \div 0,35 = 8,57% ) de chalcopyrite
- Elle fournit ( 8,57 \times 0,30 = 2,57% ) de Fe.

Ensuite, à partir de la quantité de fer restante, on déduit la quantité de pyrite :

Pyrite : ( (20 - 2,57) \div 0,47 = 37,09% ).

La gangue correspond donc au pourcentage restant :

Gangue : ( 100 - 7,46 - 8,57 - 37,09 = 46,88% ).

Étape 3 : Calcul de la densité théorique¶

Pour calculer la densité, comme il ne s’agit pas d’une relation linéaire, il faut émettre l’hypothèse que nous avons une quantité $x$ de l’échantillon. La règle typique est de supposer une masse d’échantillon de 100 g.

À partir de 100 g de roche, on calcule les volumes suivants pour chaque composante de l’échantillon :

Sphalérite : ( 7.46 \div 4.1 = 1.82 ) cm³
Chalcopyrite : ( 8.57 \div 4.2 = 2.04 ) cm³
Pyrite : ( 37.09 \div 5 = 7.42 ) cm³
Gangue : ( 46.88 \div 2.68 = 17.49 ) cm³

Le volume total est donc :

Volume total = ( 1.82 + 2.04 + 7.42 + 17.49 = 28.77 ) cm³

Et la densité sèche est obtenue comme suit :

Densité = ( 100 \div 28.77 = \mathbf{3.48} ) g/cm³

Remarques importantes¶

a) Linéarité¶

La relation de densité théorique est linéaire pour l’inverse de la densité :

\frac{1}{d_{\text{théo}}} = b_0 + b_1 \cdot \text{\%Zn} + b_2 \cdot \text{\%Cu} + b_3 \cdot \text{\%Fe}

(3)

b) Présence de Fe dans la gangue¶

Si la gangue contient aussi du fer (ex. 3 %), il faut ajuster les calculs. Cela mène à un système d’équations linéaires.

Exemple :

Ax = b

(4)

$A$ : matrice des proportions d’éléments dans chaque minéral
$x$ : % massiques des minéraux
$b$ : % massiques des éléments dans la roche

Cela permet de résoudre des cas plus complexes.

c) Effet de la porosité¶

Si la porosité est non nulle (ex. $n$ = 5 %) :

\rho_{\text{réelle}} = \rho_{\text{théorique}} \cdot (1 - n)

(5)