6.2 Estimation du variogramme

Le variogramme se calcule à partir des données observées grâce à la formule suivante :

où :

• $N(h)$ est le nombre de paires de points séparées par une distance $h$.

Cette formule est la version discrète de la définition théorique du variogramme présentée précédemment. Pour estimer le variogramme, il est donc essentiel d’identifier toutes les paires de points dont la distance correspond (ou est proche) à $h$.

Le variogramme ainsi calculé est appelé variogramme expérimental.

Variogramme expérimental directionnel¶

Pour un champ donné, rien n’assure que la continuité soit identique dans toutes les directions. Par exemple, il se pourrait que des teneurs montrent une meilleure continuité parallèlement à la stratigraphie que perpendiculairement à celle-ci. De même, pour la contamination par des hydrocarbures, on pourrait observer une meilleure continuité horizontalement que verticalement en raison de la gravité. Si le nombre d’observations le permet (typiquement au moins 50, préférablement 100), on peut chercher à vérifier ce point en calculant le variogramme expérimental dans différentes directions.

On peut ainsi calculer le variogramme selon certaines directions spécifiques :

où :

• N(h, θ) est le nombre de paires séparées de $h$ dans la direction $\theta$.

En pratique, on s’accorde une tolérance sur $h$ et sur $\theta$ afin d’avoir suffisamment de paires pour chaque $h$ et chaque $\theta$. Pour chacune des classes ainsi formées, on calcule la distance moyenne séparant les extrémités des paires (abscisse) et on évalue le variogramme expérimental pour chaque classe. On obtient donc une série de points expérimentaux auxquels on cherche à ajuster un modèle (i.e. expression analytique) permettant de déduire la covariance entre deux points quelconque en fonction de leur espacement géographique (et, éventuellement, de la direction qu’ils définissent). Une fois le modèle adopté, toute la suite des calculs se fait avec les valeurs obtenues du modèle et non avec les valeurs expérimentales.

Nuée variographique¶

En géostatistique intrinsèque, la nuée variographique est un nuage de points représentant la variabilité des données en fonction de leur distance $h$. Il s’agit d’un autre moyen de représenter nos données pour le calcul du variogramme expérimental.

Pour un jeu de données de la variable $Z$ aux emplacements $x_1, \ldots, x_n$, la nuée variographique est constituée des points dont :

• l’abscisse correspond à la distance entre deux points, c’est-à-dire $|x_i - x_j|$, ou simplement la distance $h$ entre ces deux points
• l’ordonnée correspond au carré de la différence des valeurs mesurées, soit $\frac{1}{2} \left[ Z(x_i) - Z(x_j) \right]^2$.

Cette représentation graphique illustre toutes les contributions individuelles au calcul du variogramme expérimental. Lorsqu’on choisit une tolérance sur la distance, on forme des classes (ou bins) d’une certaine largeur. On sélectionne alors tous les points du nuage appartenant à cette classe, et en calculant leur moyenne, on obtient la valeur du variogramme expérimental pour cette classe. La distance représentative de la classe correspond au centre de gravité du nuage des points pour cette classe.

On peut visualiser la nuée variographique sous forme de nuage de points. La Fig. 1 présente plusieurs nuée variographique en fonction de la largeur de la tolérence sur la distance. On peut identifier notre variogramme expérimentale (courbe noir), le modèele théorique (courbe rouge) et la nuée de point.

Exemple numérique¶

Exemple directionnel simple 2D¶

Soit une matrice de données $3 \times 3$ :

La distance entre deux éléments consécutifs, horizontalement ou verticalement, est de 1 m. La valeur NaN indique une donnée manquante.

Nous cherchons à calculer le variogramme expérimental dans la direction horizontale pour une distance de 1 m. La première étape revient à identifier les paires de points respectant ces contraintes. Ainsi, on considère les paires de points alignés horizontalement : $(3, 6)$, $(6, 5)$, $(7, 2)$, $(2, 2)$ pour un nombre de paires : $N(h_h = 1) = 4$. Le variogramme expérimental est alors :

Pour $h = 2$, nous avons les paires de points suivantes : $(3, 5)$, $(7, 2)$ et $(4, 0)$, pour un total de nombre de paires : $N(h = 2) = 3$. Le variogramme expérimental est alors :

Pour la direction verticale avec $h = 1$, nous avons les paires suivantes : $(3, 7)$, $(6, 2)$, $(5, 2)$, $(7, 4)$ et $(2, 0)$ pour $N(h=1) = 5$. Le variogramme expérimental pour cette classe est alors :

De même, pour $h=2$, nous avons les paires : $(3, 4)$ et $(5, 0)$ pour $N(h=2) = 2$ et la valeur suivante pour le variogramme expérimental :

Il est aussi possible de calculer le variogramme pour une direction diagonale à 45°, ce qui donne les paires diagonales (distance $\sqrt{2} \approx 1.41$) suivantes : $(3, 2)$, $(6, 2)$ et $(2, 0)$ pour $N(h \approx 1.41) = 3$ et la valeur de variogramme expérimentale suivante :

Pour $h \approx 2.82$ (deux pas diagonaux), nous avons une paire : $(3, 0)$ pour la valeur de variogramme expérimentale suivante :

Exemple 1D : Comparaison de deux séries¶

Soient les deux séries suivantes :

• Série 1 : 0 1 2 3 2 1 0
• Série 2 : 3 1 0 2 1 2 0

Ces deux séries ont la même moyenne et la même variance, mais leur structure spatiale est différente. La première série est plus continue que la seconde, car les valeurs de son variogramme augmentent de manière plus graduelle avec la distance. En comparaison, la seconde série présente des valeurs de variogramme très proches les unes des autres, ce qui suggère une absence de structure spatiale claire.

Leurs variogrammes :